TEORI HIMPUNAN

Himpunan (set)

        

·     Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda.

·     Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.

Cara Penyajian Himpunan

1. Enumerasi

Contoh 1.

-  Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}.      

-  Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {4, 6, 8, 10}.            

-  C = {kucing, a, Amir, 10, paku}

-  R  = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }

-  C  = {a, {a}, {{a}} }

-  K  = { {} }                                                                                               

-  Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1, 2, ..., 100 }    

-  Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.                                                                                  

Keanggotaan

x Î A: x merupakan anggota himpunan A;

x Ï A: x bukan merupakan anggota himpunan A.

Contoh 2.

Misalkan: A= {1, 2, 3, 4},  R  = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }

       K  = {{}}

maka

3    A

5    B

{a, b, c} Î R

          c Ï R         

               {} Î K

              {} Ï R                                                                                               

Contoh 3. Bila P₁ = {a, b}, P₂ = { {a, b} }, P₃ = {{{a, b}}}, maka

              a Î P₁

          a Ï P₂

                   P₁ Î P₂

          P₁ Ï P₃

                   P₂ Î P₃                                                                                              

2. Simbol-simbol Baku

P =  himpunan bilangan bulat positif  =  { 1, 2, 3, ... }

N =  himpunan bilangan alami (natural)  =  { 1, 2, ... }

Z =  himpunan bilangan bulat  =  { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }

Q =  himpunan bilangan rasional

R =  himpunan bilangan riil

C =  himpunan bilangan kompleks

·       Himpunan yang universal: semesta, disimbolkan dengan U.

Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah himpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5}.

3.  Notasi Pembentuk Himpunan

Notasi: { xú syarat yang harus dipenuhi oleh x }    

Contoh 4.

(i)  A adalah himpunan bilangan bulat positif yang kecil dari 5

       A = { x | x  adalah bilangan bulat positif lebih kecil dari  5}

 atau

 A  =  { x| x  P, x < 5 } 

     yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4}

(ii)  M = { x | x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah IF2151}              

4. Diagram Venn

Contoh 5.

Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.

Diagram Venn:

Kardinalitas

·         Jumlah elemen di dalam Adisebut kardinal dari himpunan A.

·         Notasi: n(A) atau êA ê

Contoh 6.

(i)   B= { x | x merupakan bilangan prima yang lebih kecil dari 20 },

          atau B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} maka ½B½ = 8

(ii)  T = {kucing, a, Amir, 10, paku}, maka ½T½ = 5

(iii)  A = {a, {a}, {{a}} }, maka ½A½ = 3                                                                                                                                               

 

Himpunan Kosong

·         Himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set).

·         Notasi : Æ atau {}

Contoh 7.

(i)   E = { x | x < x }, maka n(E) = 0

(ii)  P = { orang Indonesia yang pernah ke bulan }, maka n(P) = 0

(iii) A = {x | x adalah akar persamaan kuadrat x² + 1 = 0 }, n(A) = 0             

·         himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai {Æ}

·         himpunan {{ }, {{ }}} dapat juga ditulis sebagai {Æ, {Æ}}

·         {Æ} bukan himpunan kosong karena ia memuat satu elemen yaitu himpunan kosong.

Himpunan Bagian (Subset)

·         Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B.

·         Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.

·         Notasi: A  Í B

·         Diagram Venn:

                                               

Contoh 8.

(i)  { 1, 2, 3} Í {1, 2, 3, 4, 5}

(ii) {1, 2, 3} Í {1, 2, 3}       

(iii) N Z R C

(iv) Jika A = { (x, y) | x + y< 4, x  ³, y  ³ 0 } dan

       B= { (x, y) | 2x + y < 4,  x  ³ 0 dan y  ³ 0 },  maka B A.                  

                                                                                                                         

TEOREMA 1. Untuk sembarang himpunan Aberlaku hal-hal sebagai berikut:

(a) A adalah himpunan bagian dari Aitu sendiri (yaitu, A A).

(b) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari A ( A).

(c) Jika A Í B dan B Í C, maka A Í C

                  

·     A dan A A, maka dan A disebut himpunan bagian tak sebenarnya (improper subset) dari himpunan A.

Contoh: A = {1, 2, 3}, maka {1, 2, 3} dan Æ adalah improper subset dari A.

·     A Í B berbeda dengan A Ì B

(i)         A Ì B: A adalah himpunan bagian dari B tetapi A ¹ B.

       Aadalah himpunan bagian sebenarnya (proper subset) dari B.

 Contoh: {1} dan {2, 3} adalah  proper subset dari {1, 2, 3}

(ii) A Í B : digunakan untuk menyatakan bahwa A adalah  himpunan bagian (subset) dari Byang memungkinkan A = B.

Himpunan yang Sama

·         A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A.

·         A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka A ¹ B.

·         Notasi : A = B  «  A Í Bdan B Í A

Contoh 9.

(i)   Jika A = { 0, 1 } dan B = { x | x (x – 1) = 0 }, maka A = B

(ii)  Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {5, 3, 8 }, maka A = B

(iii) Jika A= { 3, 5, 8, 5 } dan B = {3, 8}, maka A ¹ B                                               

Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C berlaku aksioma berikut:

(a) A= A, B = B, dan C = C    

(b) jika A= B, maka B = A

(c) jika A= B dan B = C, maka A = C

 

Himpunan yang Ekivalen

·          Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut sama.

·         Notasi : A ~ B  « ½A½ = ½B½

Contoh 10.

Misalkan A= { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d }, maka A ~ Bsebab ½A½ = ½B½ = 4               

 

Himpunan Saling Lepas

·         Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama.

·         Notasi : A // B

·         Diagram Venn:

Contoh 11.

Jika A = { x | x P, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30, ... }, maka A // B.                        

Himpunan Kuasa

·         Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan Asendiri.                         

·         Notasi : P(A) atau 2^A

·         Jika ½A½ = m, maka ½P(A)½ = 2m.

Contoh 12.

Jika A = { 1, 2 }, maka P(A) = { , { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }}                                

Contoh 13.

Himpunan kuasa dari himpunan kosong adalah P(Æ) = {Æ}, dan himpunan kuasa dari himpunan {Æ} adalah P({Æ}) = {Æ, {Æ}}.                                                                         

Operasi Terhadap Himpunan

a. Irisan (intersection)

·       Notasi : A Ç B = { x | x Î Adan x Î B }

Contoh 14.

(i)     Jika A= {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18},

  maka A Ç B = {4, 10}

(ii) Jika A= { 3, 5, 9 } dan B = { -2, 6 }, maka A B = .

 Artinya:  A // B                           

b.  Gabungan (union)

·       Notasi : A È B = { x | x Î Aatau x Î B }

   

Contoh 15.

(i)  Jika A= { 2, 5, 8 } dan B = { 7, 5, 22 }, maka A B = { 2, 5, 7, 8, 22 }

(ii) A = A                                                                                          

 

 

c.  Komplemen (complement)

·       Notasi :  = { x | x Î U, x Ï A}

Contoh 16.

Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 },

(i)              jika A = {1, 3, 7, 9}, maka  = {2, 4, 6, 8}

(ii)            jika A = { x | x/2 P, x < 9 }, maka = { 1, 3, 5, 7, 9 }                              

Contoh 17.  Misalkan:

A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri

B = himpunan semua mobil impor

C = himpunan semua mobil yang dibuat sebelum tahun 1990

D = himpunan semua mobil yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta

E = himpunan semua mobil milik mahasiswa universitas tertentu

(i)    “mobil mahasiswa di universitas ini produksi dalam negeri atau diimpor dari luar negeri” à (EÇ A) È (EÇ B) atau E Ç (A È B)

(ii) “semua mobil produksi dalam negeri yang dibuat sebelum tahun 1990 yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta” à A Ç C Ç D

(iii)        “semua mobil impor buatan setelah tahun 1990 mempunyai nilai jual lebih dari Rp 100 juta” à                                    

d. Selisih (difference)

·       Notasi : A – B= { x | x Î A dan x Ï B} =  A Ç

Contoh 18.  

(i)   Jika A= { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B = { 2, 4, 6, 8, 10 }, maka A – B = { 1, 3, 5, 7, 9 } dan B – A=

(ii)  {1, 3, 5} – {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3} – {1, 3, 5} = {2}

 

e.  Beda Setangkup (Symmetric Difference)

·       Notasi: A Å B = (A È B) – (A Ç B) = (A – B) È (B – A)

Contoh 19.

Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 }, maka A B = { 3, 4, 5, 6 }

 

Contoh 20.  Misalkan

U = himpunan mahasiswa

P = himpunan mahasiswa yang nilai ujian UTS di atas 80

Q = himpunan mahasiswa yang nilain ujian UAS di atas 80

Seorang mahasiswa mendapat nilai A jika nilai UTS dan nilai UAS keduanya di atas 80, mendapat nilai B jika salah satu ujian di atas 80, dan mendapat nilai C jika kedua ujian di bawah 80.

(i)     “Semua mahasiswa yang mendapat nilai A” : P Ç Q

(ii)  “Semua mahasiswa yang mendapat nilai B” : P Å Q

(iii)   “Ssemua mahasiswa yang mendapat nilai C” : U – (P È Q)                

 

TEOREMA 2.  Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut:

          (a) A Å B = B Å A                                   (hukum komutatif)

          (b) (A Å B )  Å C = A Å (BÅ C)           (hukum asosiatif)

         

f.  Perkalian Kartesian (cartesian product)

·       Notasi: A ´ B = {(a, b) ½ a Î A dan b Î B}

Contoh 20.

(i)   Misalkan C= { 1, 2, 3 },  dan D = { a, b }, maka
      C´ D= { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }

(ii)  Misalkan A= B = himpunan semua bilangan riil, maka
 A´ B= himpunan semua titik di bidang datar

Catatan:

1.    Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka: ½A ´ B½ = ½A½ . ½B½.

2.    Pasangan berurutan (a, b) berbeda dengan (b, a), dengan kata lain (a, b) ¹ (b, a).

3.    Perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu A ´ B ¹ B ´ A  dengan syarat A atau B tidak kosong.

Pada Contoh 20(i) di atas, D ´ C= {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) } ¹ C ´ D.

4.    Jika A = Æ atau B = Æ, maka A ´ B = B ´ A=  Æ

 

Contoh 21.  Misalkan

A = himpunan makanan = { s = soto, g = gado-gado, n = nasi goreng, m = mie rebus }

         B = himpunan minuman = { c = coca-cola, t = teh, d = es dawet }

Berapa banyak kombinasi makanan dan minuman yang dapat disusun dari kedua himpunan di atas?

Jawab:

½A ´ B½ = ½A½×½B½ = 4 × 3 = 12 kombinasi dan minuman, yaitu {(s, c), (s, t), (s, d), (g, c), (g, t), (g, d), (n, c), (n, t), (n, d), (m, c), (m, t), (m, d)}.                                                                         

Contoh 21. Daftarkan semua anggota himpunan berikut:

(a) P(Æ)          (b) Æ ´ P(Æ)      (c) {Æ}´ P(Æ)    (d) P(P({3}))     

Penyelesaian:

(a) P(Æ) = {Æ}

(b)    Æ ´ P(Æ) = Æ   (ket: jika A = Æ atau B = Æ maka A ´ B = Æ)

(c) {Æ}´ P(Æ) = {Æ}´ {Æ} = {(Æ,Æ))

(d)   P(P({3})) = P({ Æ,  {3} }) = {Æ, {Æ}, {{3}}, {Æ, {3}} }                                                          

Perampatan Operasi Himpunan

               

Contoh 22.

(i) A (B1B2  ... Bn) = (A B1) (A B2) ... (A Bn)

(ii) Misalkan A = {1, 2},   B= {a, b}, dan C = {a, b}, maka

A ´ B ´ C= {(1, a, a), (1, a, b), (1, b, a), (1, b, b), (2, a, a), (2, a, b), (2, b, a), (2, b, b) }

Hukum-hukum Himpunan

1.  Hukum identitas:    A = A    A U = A	2.  Hukum null/dominasi:    A =    A U = U
3.  Hukum komplemen:    A  = U    A  =	4.  Hukum idempoten:    A A = A    A A = A
5.  Hukum involusi:    = A	6.  Hukum penyerapan (absorpsi):    A (A B) = A    A (A B) = A
7.  Hukum komutatif:    A B = B A    A B = B A	8.  Hukum asosiatif:    A (B C) = (A B) C    A (B C) = (A B) C
9.  Hukum distributif:    A (B C) = (A B) (A C)    A (B C) = (A B) (A C)	10.    Hukum De Morgan:     =     =
11.           Hukum 0/1     = U     = Æ

 

Prinsip Dualitas

·       Prinsip dualitas: dua konsep yang berbeda dapat dipertukarkan namun tetap memberikan jawaban yang benar.

Contoh: AS à kemudi mobil di kiri depan

          Inggris (juga Indonesia) à kemudi mobil di kanan depan

Peraturan:

          (a) di Amerika Serikat,

                   -   mobil harus berjalan di bagian kanan jalan,        

-         pada jalan yang berlajur banyak, lajur kiri untuk mendahului,

-         bila lampu merah menyala, mobil belok kanan boleh langsung

(b) di Inggris,

-         mobil harus berjalan di bagian kiri jalan,

-         pada jalur yang berlajur banyak, lajur kanan untuk mendahului,

-         bila lampu merah menyala, mobil belok kiri boleh langsung

Prinsip dualitas:

Konsep kiri dan kanan dapat dipertukarkan pada kedua negara tersebut sehingga peraturan yang berlaku di Amerika Serikat menjadi berlaku pula di Inggris.

·       (Prinsip Dualitas pada Himpunan). Misalkan S adalah suatu kesamaan (identity) yang melibatkan himpunan dan operasi-operasi seperti , , dan komplemen. Jika S* diperoleh dari S dengan mengganti   ® ,  ® ,  ®U, U ® , sedangkan komplemen dibiarkan seperti semula, maka kesamaan S* juga benar dan disebut dual dari kesamaan S.

1.  Hukum identitas:    A = A	Dualnya: A U  = A
2.   Hukum null/dominasi:    A =	Dualnya: A U = U
3.  Hukum komplemen:     A  = U	Dualnya: A =
4.  Hukum idempoten:     A A = A	Dualnya: A A = A
5.  Hukum penyerapan:     A (A B) = A	Dualnya:        A (A B) = A
6.  Hukum komutatif:     A B = B A	Dualnya:        A B = B A
7.  Hukum asosiatif:  A (B C) = (A B) C	Dualnya:  A (B C) = (A B) C
8.  Hukum distributif: A (B C)=(A B) (A C)	Dualnya:  A (B C) = (A B) (A C)
9.  Hukum De Morgan:      =	Dualnya:         =
10.  Hukum 0/1     = U	Dualnya:         = Æ

Contoh 23. Dual dari (A B) (A ) = A adalah

        (A B) (A ) = A.

Prinsip Inklusi-Eksklusi

Untuk dua himpunan A dan B:

                                ½A È B½ = ½A½ + ½B½ – ½A Ç B½                                                                                      

            ½A Å B½ = ½A½ +½B½ – 2½A Ç B½                                                         

Contoh 24.  Berapa banyaknya bilangan bulat antara 1 dan 100 yang habis dibagi 3 atau 5?

Penyelesaian:

   A= himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3,

   B= himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 5,

   A Ç B=  himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3 dan 5 (yaitu himpunan bilangan bulat yang habis dibagi oleh KPK – Kelipatan Persekutuan Terkecil – dari 3 dan 5, yaitu 15),

yang ditanyakan adalah ½A È B½.

½A½ = ë100/3û  = 33,

½B½ = ë100/5û  = 20,

½A Ç B½ = ë100/15û  = 6

          ½A È B½ = ½A½ + ½B½ –  ½A Ç B½ = 33 + 20 – 6 = 47

Jadi, ada 47 buah bilangan yang habis dibagi 3 atau 5.                                                                

Untuk tiga buah himpunan A, B, dan C, berlaku

½A È B È C½ = ½A½ + ½B½ + ½C½ –  ½A Ç B½ –

      ½A Ç C½ –  ½B Ç C½ + ½A Ç B Ç C½   

Untuk himpunan A₁, A₂, …, A_r, berlaku:

                               

½A₁ È A₂È … È A_r½ = ½A_i½ – ½A_i Ç A_j½ +

½A_i Ç A_j Ç A_k½ + … +   

 (-1)^r-1½A₁ Ç A₂Ç … Ç A_r½ 

Partisi

·       Partisi dari sebuah himpunan A adalah sekumpulan himpunan bagian tidak kosong A₁, A₂, … dari Asedemikian sehingga:

(a)             A₁ È A₂È … = A, dan

(b)            A_i Ç A_j= Æ untuk i¹ j  

Contoh 25. Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, maka { {1}, {2, 3, 4}, {7, 8}, {5, 6} } adalah partisi A. 

 

 

Himpunan Ganda

·       Himpunan yang elemennya boleh berulang (tidak harus berbeda) disebut himpunan ganda (multiset).

Contohnya, {1, 1, 1, 2, 2, 3}, {2, 2, 2}, {2, 3, 4}, {}.

·       Multiplisitas dari suatu elemen pada himpunan ganda adalah jumlah kemunculan elemen tersebut pada himpunan ganda.  Contoh: M = { 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1 }, multiplisitas 0 adalah 4.

·       Himpunan (set) merupakan contoh khusus dari suatu multiset, yang dalam hal ini multiplisitas dari setiap elemennya adalah 0 atau 1.

·       Kardinalitas dari suatu multisetdidefinisikan sebagai kardinalitas himpunan padanannya (ekivalen), dengan mengasumsikan elemen-elemen di dalam multisetsemua berbeda.

Operasi Antara Dua Buah Multiset:

Misalkan P dan Q adalah multiset:

1.    P Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan multiplisitas maksimum elemen tersebut pada himpunan P dan Q.

     Contoh: P = { a, a, a, c, d, d } dan Q ={ a, a, b, c, c },

 P Q = { a, a, a, b,  c, c, d, d }

2.    P Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan multiplisitas minimum elemen tersebut pada himpunan P dan Q.

     Contoh: P = { a, a, a, c, d, d } dan Q = { a, a, b, c, c }

 P Q = { a, a, c }

3.  P – Qadalah suatu  multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan:

   multiplisitas elemen tersebut pada P dikurangi multiplisitasnya pada Q, jika selisihnya positif

        0, jika selisihnya nol atau negatif.

     Contoh: P = { a, a, a, b, b, c, d, d, e} dan Q = {  a, a, b, b, b, c,

                   c, d, d, f } maka P – Q  = { a, e }

4.    P + Q, yang didefinisikan sebagai jumlah (sum) dua buah himpunan ganda, adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan penjumlahan dari multiplisitas elemen tersebut pada P dan Q.

     Contoh: P = { a, a, b, c, c } dan Q = { a, b, b, d },

                  P + Q = { a, a, a, b, b, b, c, c, d }

Pembuktian Pernyataan Perihal Himpunan

·       Pernyataan himpunan adalah argumen yang menggunakan notasi himpunan.

·       Pernyataan dapat berupa:

1.    Kesamaan (identity)

Contoh: Buktikan “A Ç (B È C) = (A Ç B) È (AÇ C)”

2.    Implikasi

Contoh: Buktikan bahwa “Jika A Ç B = Æ dan A Í (B È C) maka selalu berlaku bahwa A Í C”.

1. Pembuktian dengan menggunakan diagram Venn

Contoh 26. Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Buktikan A Ç (B È C) = (A Ç B) È (AÇ C) dengan diagram Venn.

Bukti:

A Ç (BÈ C)                             (A Ç B) È (AÇ C)    

Kedua digaram Venn memberikan area arsiran yang sama.

Terbukti bahwa A Ç (B È C) = (A Ç B) È (AÇ C).    

                                               

·       Diagram Venn hanya dapat digunakan jika himpunan yang digambarkan tidak banyak jumlahnya.

·       Metode ini mengilustrasikan ketimbang membuktikan fakta. Diagram Venn  tidak dianggap sebagai metode yang valid untuk pembuktian secara formal. 

2. Pembuktikan dengan menggunakan tabel keanggotaan

Contoh 27. Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Buktikan bahwa A Ç (B È C) = (A Ç B) È (AÇ C). 

Bukti:

A	B	C	B È C	A Ç (B È C)	A Ç B	A Ç C	(A Ç B) È (A Ç C)
0	0	0	0	0	0	0	0
0	0	1	1	0	0	0	0
0	1	0	1	0	0	0	0
0	1	1	1	0	0	0	0
1	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	1	1	0	1	1
1	1	0	1	1	1	0	1
1	1	1	1	1	1	1	1

Karena kolom A Ç (BÈ C) dan kolom (A Ç B) È (AÇ C) sama, maka A Ç (BÈ C) = (A Ç B) È (A Ç C). 

3. Pembuktian dengan menggunakan aljabar himpunan.

Contoh 28. Misalkan Adan B himpunan. Buktikan bahwa (A Ç B) È (A Ç ) = A

Bukti:

(A Ç B) È (AÇ )  = A Ç (B È )       (Hukum distributif)

                        = AÇ U                   (Hukum komplemen)

                        = A                           (Hukum identitas)                                                 

               

Contoh 29.  Misalkan Adan B himpunan. Buktikan bahwa A È (B – A) = A È B

Bukti:

          AÈ (B– A)  = A È (BÇ ) (Definisi operasi selisih)

                          = (AÈ B) Ç (AÈ )     (Hukum distributif)

                          = (AÈ B) Ç U                (Hukum komplemen)

                          = AÈ B                           (Hukum identitas)                       

Contoh 30.  Buktikan bahwa untuk sembarang himpunan A dan B, bahwa

         (i)  A È ( Ç B) = A È B    dan

(ii)  A Ç ( È B) = A Ç B

Bukti:

(i)      A È ( Ç B)  = ( AÈ ) Ç (A Ç B)      (H. distributif)

                                  =  U Ç  (A Ç B)                (H. komplemen)

                                  =  A È B                            (H. identitas)                  

(ii)    adalah dual dari (i)

A Ç ( È B)  = (AÇ ) È  (A Ç B)      (H. distributif)

                                  = Æ  È  (A Ç B)                (H. komplemen)

                                 =  A Ç B                    (H. identitas)                  

         

4. Pembuktian dengan menggunakan definisi 

·       Metode ini digunakan untuk membuktikan pernyataan himpunan yang tidak berbentuk kesamaan, tetapi pernyataan yang berbentuk implikasi. Biasanya di dalam implikasi tersebut terdapat notasi himpunan bagian (Íatau Ì).

Contoh 31.  Misalkan A dan B himpunan. Jika A Ç B = Æ dan A Í (B È C) maka A Í C. Buktikan!

Bukti:

(i)    Dari definisi himpunan bagian, P Í Qjika dan hanya jika setiap x Î Pjuga Î Q. Misalkan x Î A. Karena A Í (BÈ C), maka dari definisi himpunan bagian, xjuga Î (BÈ C).

Dari definisi operasi gabungan (È), xÎ (BÈ C) berarti x Î Batau x Î C.

(ii)  Karena xÎ Adan A Ç B = Æ, maka x Ï B

Dari (i) dan (ii), x Î Charus benar. Karena "x Î Ajuga berlaku x Î C, maka dapat disimpulkan A Í C . 

Tipe Set dalam Bahasa Pascal

·       Bahasa Pascal menyediakan tipe data khusus untuk himpunan, yang bernama set. Tipe set menyatakan himpunan kuasa dari tipe ordinal (integer, character).

    Contoh:

type

       HurufBesar = ‘A’..‘Z’;  { enumerasi }

       Huruf = set of HurufBesar;

    var

       HurufKu : Huruf;

Nilai untuk peubah HurufKu dapat diisi dengan pernyataan berikut:

          HurufKu:=[‘A’, ‘C’, ‘D’];

    HurufKu:=[‘M’];

    HurufKu:=[];         { himpunan kosong }

·       Operasi yang dapat dilakukan pada tipe himpunan adalah operasi gabungan, irisan, dan selisih seperti pada contoh berikut:

 {gabungan}

          HurufKu:=[‘A’, ‘C’, ‘D’] + [‘C’, ‘D’, ‘E’];

{irisan}

    HurufKu:=[‘A’, ‘C’, ‘D’] * [‘C’, ‘D’, ‘E’];

{selisih}

HurufKu:=[‘A’, ‘C’, ‘D’] - [‘C’, ‘D’, ‘E’];

·       Uji keanggotaan sebuah elemen di dalam himpunan dilakukan dengan menggunakan opeator in seperti contoh berikut:

          if ‘A’ in HurufKu then    ...

·       Di dalam kakas pemrograman Delphi, set sering digunakan untuk mengindikasikan flag. Misalnya himpunan iconuntuk window:

type

       TBorderIcon=(biSystemMenu, biMinimize,

       biMaximaze);

       Huruf = set of TBoderIcon;